Integral : Pengertian, Kaidah, Teorema & Contoh Soal

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Lambang integral adalah ∫

RUMUS DASAR INTEGRAL

Selain rumus di atas, ada juga rumus yang lebih praktis :

INTEGRAL TAK TENTU

Contoh kaidah-kaidah integral tak tentu

1.     Formula pangkat

∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1

contoh:

1) ∫ x8 dx = x8+1 + k = x9 + k
8+ 1 = 9

2.   Formula logaritmis

∫ 1/x dx = ln x + k

contoh:
1) ∫ 4/x dx = 4 ln x + k

2) ∫ 6 = ∫ 6 d(x + 1) + k = 6 ln (x + 1) + k
x + 1 x + 1

3. Formula eksponensial
   ∫ ex dx = ex + k
   ∫ eu du = eu + k u = f(x)contoh:
   1) ∫ ex+8 dx = ∫ ex+8 d(x + 8) = ex+8 + k
4. Formula penjumlahan
   ∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
   = F(x) + G(x) + kcontoh:
   1) ∫ (x4 + 3×2) dx = ∫ x4 dx + ∫ 3×2 dx = 0,2 x5 + x3 + k
5. Formula perkalian
   ∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx , n ≠ 0contoh:
   1) ∫ 5×2 dx = 5 ∫ x2 dx = 5 ( x2+1 + k ) = x3 + k
   5+1
6. Formula substitusi
   ∫ f(u) du dx = ∫ f(u) du = F(u) + k
   dxdimana u = g(x), dan ∫ du merupakan substitut bagi ∫ dxcontoh:
   ∫ 6x (3×2 – 10)dx

Dengan cara substitusi, misalkan u = 3×2 – 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. sehingga:
∫ 6x (3×2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
= (3×2 – 10)2 + k
2
= ½ (9×4 – 60×2 + 100) + k
= 4,5 x 4 – 30×2 +50 + k
= 4,5 x 4 – 30×2 + k
dimana k + 50 + k

INTEGRAL  TENTU

  

LATIHAN SOAL

PEMBAHASAN 

1. Kita nyatakan bentuk fungsi di dalam akar kuadrat sebagai

   

yang nantinya akan disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

Turunkan bentuk u terhadap variabel x. Hal ini dilakukan sebagai persiapan substitusi bentuk dx.

Lalu diatur menjadi,  untuk disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

2. Misal :
u = x² + 1
du/dx = 2x
x dx = 1/2 du

∫x sin (x² + 1) dx
= ∫sin u . 1/2 du
= 1/2 ∫sin u du
= -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (x² + 1) + C

3. misal:  u = sin x

du = cos x dx

∫sin²xcosx dx

= ∫u² du

4.

5.

6. Misal :
u = x² + 1
du/dx = 2x
x dx = 1/2 du

∫x sin (x² + 1) dx
= ∫sin u . 1/2 du
= 1/2 ∫sin u du
= -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (x² + 1) + C

7. Kita nyatakan bentuk fungsi di dalam akar kuadrat sebagai   yang nantinya akan disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

Turunkan bentuk u terhadap variabel x. Hal ini dilakukan sebagai persiapan substitusi bentuk dx.

Lalu diatur menjadi,  untuk disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

8.

9.

Bagikan Artikel ini